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第七章 工程质量控制的统计分析方法
第一节 质量统计基本知识
一、总体、样本及统计推断工作过程
1.总体，母体，是所研究对象的全体。个体，是组成总体的基本元素。总体中含有个体的数目通常用 N 表示。
●有限总体●无限总体
2.样本，也称子样，是从总体中随机抽取出来，并根据对其研究结果推断总体质量特征的那部分个体。被抽中的个体称为样品，样品的数目称样本容量，用 n 表示。
3.统计推断工作过程
运用质量统计方法在生产过程中或一批产品中，随机抽取样本，通过对样品进行检测和整理加工，从中获得样本质量信息，并以此为依据，以概率数理统计为理论基础，对总体的质量状况作出分析和判断。
二、质量数据的收集方法(了解)
(一)全数检验
全数检验是对总体中的全部个体逐一观察、测量、计数、登记，从而获得对总体质量水平评价结论的方法。
优点——一般比较可靠，能提供大量的质量信息。
缺点——消耗很多人力、物力、财力和时间，特别是不能用于具有破坏性的检验和过程质量控制，应用上具有局限性。
适用于——在有限总体中，对重要的检测项目，当可采用简易快速的不破损检验方法时可选用全数检验方案。
(二)随机抽样检验
抽样检验是按照随机抽样的原则，从总体中抽取部分个体组成样本，根据对样品进行检测的结果，推断总体质量水平的方法。
优点——①抽样检验抽取样品不受检验人员主观意愿的支配，每一个体被抽中的概率都相同，从而保证了样本在总体中的分布比较均匀，有充分的代表性②它还具有节省人力、物力、财力、时间和准确性高的优点。
适用于——破坏性检验和生产过程的质量监控，完成全数检测无法进行的检测项目，具有广泛的应用空间。
抽样的具体方法有：
1.简单随机抽样
简单随机抽样又称纯随机抽样、完全随机抽样，是对总体不进行任何加工，直接进行随机抽样，获取样本的方法。
具体做法——对全部个体编号，然后采用抽签、摇号、随机数字等方法确定中选号码，相应的个体即为样品。
适用于——总体差异不大，或对总体了解甚少的情况。
2.分层抽样
分层抽样又称分类或分组抽样，是将总体按与研究目的有关的某一特性分为若干组，然后在每组内随机抽取样品组成样本的方法。
优点——对每组都有抽取，样品在总体中分布均匀，更具代表性。适用于——总体比较复杂的情况。
例：研究混凝土浇筑质量时，可以①按生产班组分组、②按浇筑时间(白天、黑夜;或季节)分组、③按原材料供应商分组后，再在每组内随机抽取个体。
3.等距抽样
等距抽样又称机械抽样、系统抽样，是将个体按某一特性排队编号后均分为 n 组，这时每组有 K=N/n 个个体，然后在第一个组内随机抽取第一件样品，以后每隔一定距离抽选出其余样品组成样本的方法。
距离——空间、时间、数量的距离若分组特性与研究目的有关，就可看作分组更细且等比例的特殊分层抽样;
若分组特性与研究目的无关，就是纯随机抽样;注意：所采用的距离(K 值)不要与总体质量特性值的变动周期一致，如对于连续
生产的产品按时间距离抽样时，每隔的时间不要是每班作业时间 8 小时的约数或倍数，以避免产生系统偏差。
4.整群抽样
整群抽样一般是将总体按自然存在的状态分为若干群，并从中抽取样品群组成样本，然后在中选群内进行全数检验的方法。如对原材料质量进行检测，可按原包装的箱、盒为群随机抽取，对中选箱、盒做全数检验;每隔一定时间抽出一批产品进行全数检验等。
由于随机性表现在群间，样品集中，分布不均匀，代表性差，产生的抽样误差也大，同时在有周期性变动时，也应注意避免系统偏差。
上述抽样方法的共同特点是整个过程中只有一次随机抽样，因而统称为单阶段抽样。但是当总体很大时，很难一次抽样完成预定的目标。
5.多阶段抽样
多阶段抽样又称多级抽样。多阶段抽样是将各种单阶段抽样方法结合使用，通过多次随机抽样来实现的抽样方法。适用于总体很大时，很难一次抽样完成预定目标的情况。例如检查检验钢材、水泥等质量时，可以对总体按不同批次分为 R 群，从中随机抽取 r 群，而后在中选的 r 群中的 M 个个体中随机抽取 m 个个体，这就是整群抽样与分层抽样相结合的二阶段抽样。
典型例题：
1.某家庭装修时买了 1000 块瓷砖，每 10 块一盒，现在要抽 50 块检查其质量。若随机按盒抽取全数检查，则属于( )的方法。(2006 年真题)
A.单纯随机抽样 B.分层抽样
C.机械随机抽样 D.整群抽样
『正确答案』D
『答案解析』整群抽样一般是将总体按自然存在的状态分为若干群，并从中抽取样品群组成样本，然后在中选群内进行全数检验的方法。参见教材 P135。
2.对总体中的全部个体进行编号，然后抽签、摇号确定中选号码，相应的个体即为样品。这种抽样方法称为( )。(2009 年真题)
A.完全随机抽样 B.分层抽样 C.等距抽样 D.整群抽样
『正确答案』A
『答案解析』简单随机抽样又称纯随机抽样、完全随机抽样，是对总体不进行任何加工，直接进行随机抽样，获取样本的方法。一般做法是对全部个体编号，然后采用抽签、摇号、随机数字等方法确定中选号码，相应的个体即为样品。参见教材 P135。
3.在收集质量数据中，当总体很大时，很难一次抽样完成预定的目标，此时，质量数据的收集方法宜采用( )。(2008 年真题)
A.分层抽样 B.等距抽样 C.整群抽样 D.多阶段抽样
『正确答案』D
『答案解析』多阶段抽样是将各种单阶段抽样方法结合使用，通过多次随机抽样来实现的抽样方法。适用于总体很大时，很难一次抽样完成预定目标的情况。参见教材P135。
4.质量检验时，将总体按某一特性分为若干组，从每组中随机抽取样品组成样本的抽样方法称为( )。(2010 年真题)
A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.等距抽样 D.多阶段抽样
『正确答案』B
『答案解析』分层抽样又称分类或分组抽样，是将总体按某一特性分为若干组，然后在每一组内随机抽取样品组成样本的方法。参见教材 P135。
5.施工单位采购的某类钢材分多批次进场时，为了保证在抽样检测中样品分布均匀、更具代表性，最合适的随机抽样方法是( )。(2011 年真题)
A.分层抽样 B.等距离法抽样 C.整群抽样 D.多阶段抽样
『正确答案』D
『答案解析』检验钢材质量时，可以对总体按不同批次分为 R 群，从中随机抽取 r 群，而后在中选的 r 群中的 M 个个体中随机抽取 m 个个体，这是整群抽样与分层抽样相结合的二阶段抽样。参见教材 P135。
三、质量数据的分类
1.计量值数据
可以连续取值的数据，属于连续型变量。其特点是在任意两个数值之间都可以取精度较高一级的数值。如重量、强度等。一些属于定性的质量特性，可以由老师主观评分、划分等级而使之数量化，得到的数据也属于计量值数据。
2.计数值数据
只能按 0,1,2，……数列取值计数的数据，属于离散型变量。
(1)计件值数据：表示具有某一质量标准的产品个数。如总体中合格品数。
(2)计点值数据：表示个体上的缺陷数、质量问题点数等。如钢结构构件表面的焊渣、焊疤的数量等。
四、质量数据的特征值(了解)
样本数据特征值是由样本数据计算的描述样本质量数据波动规律的指标。统计推断就是根据这些样本数据特征值来分析、判断总体的质量状况。
●描述数据分布集中趋势的特征值：算术平均数、中位数;
●描述数据分布离中趋势的特征值：极差、标准偏差、变异系数等。
(一)描述数据集中趋势的特征值1.算术平均数
算术平均数又称均值，是消除了个体之间个别偶然的差异，显示出所有个体共性和数据一般水平的统计指标，它由所有数据计算得到的是数据的分布中心，对数据的代表性好。其计算公式为：
(1) 总体算术平均数 μ式中 N——总体中个体数;Xi——总体中第 i 个的个体质量特性值。
(2)样本算术平均数 n——样本容量;xi——样本中第 i 个样品的质量特性值。
2.样本中位数
样本中位数是将样本数据按数值大小有序排列后，位置居中的数值。当样本数 n 为奇数时，数列居中的一位数即为中位数;当样本数 n 为偶数时，取居中两个数的平均值作为中位数。
(二) 描述数据离散趋势的特征值
1.极差 R
极差是数据中最大值与最小值之差，是用数据变动的幅度来反映其分散状况的特征值。
优点——极差计算简单、使用方便。
缺点——粗略，数值仅受两个极端值的影响，损失的质量信息多，不能反映中间数据的分布和波动规律。
仅适用于小样本。
其计算公式为：
2.标准偏差
标准偏差简称标准差或均方差，是个体数据与均值离差平方和的算术平均数的算术根，是大于 0 的正数。总体的标准差用 σ 表示;样本的标准差用 S 表示。标准差值小说明分布集中程度高，离散程度小，均值对总体(样本)的代表性好;标准差的平方是方差，有鲜明的数理统计特征，能确切说明数据分布的离散程度和波动规律，是最常用的反映数据变异程度的特征值。
总体的标准差σ
样本的标准差 S
样本的标准偏差 S 是总体标准差 σ 的无偏估计。在样本容量较大(n≥50)时，上式中的分母(n-1)可简化为 n 。
(3)变异系数 CV
变异系数又称离散系数，是用标准差除以算术平均数得到的相对数。它表示数据的相对离散波动程度。变异系数小，说明分布集中程度高，离散程度小，均值对总体(样本)的代表性好。
由于消除了数据平均水平不同的影响，变异系数适用于均值有较大差异的总体之间离散程度的比较，应用更为广泛。
典型例题：
1.描述质量特性数据离散趋势的特征值是( )。(2009 年真题)
A.算术平均数 B.中位数 C.极差 D.期望值
『正确答案』C
『答案解析』描述数据分布集中趋势的有算术平均数、中位数;描述数据分布离中趋势的有极差、标准偏差、变异系数等。参见教材 P136、137。
五、质量数据的分布特征
(一) 质量数据的特性个体数值的波动性和总体分布的规律性。
(二)质量数据波动的原因(了解)
质量特性值的变化在质量标准允许范围内波动称之为正常波动，是由偶然性原因引起的;若是超越了质量标准允许范围的波动则称之为异常波动，是由系统性原因引起的。
1.偶然性原因
在实际生产中，影响因素的微小变化具有随机发生的特点，是不可避免、难以测量和控制的，或者是在经济上不值得消除，它们大量存在但对质量的影响很小，属于允许
偏差、允许位移范畴，引起的是正常波动，一般不会因此造成废品，生产过程正常稳定。通常把 4M1E 因素的这类微小变化归为影响质量的偶然性原因、不可避免原因或正常原因。
2.系统性原因
当影响质量的 4M1E 因素发生了较大变化，如工人未遵守操作规程、机械设备发生故障或过度磨损、原材料质量规格有显著差异等情况发生时，没有及时排除，生产过程则不正常，产品质量数据就会离散过大或与质量标准有较大偏离，表现为异常波动，次品、废品产生。这就是产生质量问题的系统性原因或异常原因。由于异常波动特征明显，容易识别和避免，特别是对质量的负面影响不可忽视，生产中应该随时监控，及时识别和处理。
典型例题：
1.在下列事件中，可以引起质量波动的偶然性原因包括( )。(2007 年真题)
A.设计计算允许误差 B.材料规格品种使用错误
C.施工方法不当 D.机械设备故障
『正确答案』A
『答案解析』在实际生产中，影响因素的微小变化大量存在但对质量的影响很小，属于允许偏差、允许位移范畴，引起的是正常波动，一般不会因此造成废品，生产过程正常稳定。通常把 4M1E 因素的这类微小变化归为影响质量的偶然性原因、不可避免原因或正常原因。参见教材 P138。
注意：结合教材 P4、5，“质量波动大”这个特点的相关内容进行学习。
2.质量特性值在质量标准允许范围内的波动是由( )原因引起的。(2009 年真题)
A.偶然性 B.系统性 C.异常性 D.相关性
『正确答案』A
『答案解析』质量特性值的变化在质量标准允许范围内波动称之为正常波动，是由偶然性原因引起的;若是超越了质量标准允许范围的波动则称之为异常波动，是由系统性原因引起的。参见教材 P138。
(三)质量数据分布的规律性
实践中只要是受许多起微小作用的因素影响的质量数据，都可认为是近似服从正态分布的，如构件的几何尺寸，混凝土强度等。
正态分布：以质量标准为中心的质量数据分布，它可用一个“中间高、两端低、左右对称”的几何图形表示。
一般计量值数据服从正态分布，计件值数据服从二项分布，计点值数据服从泊松分布等。如果是随机抽取的样本，无论它来自的总体是何种分布，在样本容量较大时，其样本均值也将服从或近似服从正态分布。